冰块在水中熔化美女教师，临了只剩一颗细微的晶点，这是物理知识。但要把这个历程写进数学，写成一套可盘算、可演绎、可瞻望的逻辑模子，难题难以念念象。目下，一谈横亘近三十年的数学高墙，被攻克了。
一切都围绕一个看似节略的问题张开：一个名义在不停自我松开、变得越来越光滑，最终消散的历程中，会不会出现无法惩处的“奇点”？更准确说，是不是扫数这种松开演化中的“突变点”——数学上叫“奇点”——都不会太复杂，能不时演算下去，不至于让整套模子宕机？这个问题，被称为“Multiplicity-One猜念念”。
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最早残暴这点的是Tom Ilmanen，1995年。他以为不管名义怎样演化，其间出现的奇点要是仅仅“单重”的，也便是说，在这些点上，名义莫得叠在一都、莫得奇怪的复合结构，那么后续盘算还能不时。要是这个假定成立，数学家就不错对这类演化作念澈底的分析，哪怕途中出现了断点。
问题是，这个猜念念没法浪漫考证。哪怕是一个形如“哑铃”的名义，中间细、两端饱读，那细脖子松开成极少的时候，方程就炸了——因为曲率趋近无尽。但要是你强行忽略这个奇点，剩下的两个饱读包照旧不错各自不时演化成两个球。这给东谈主一种错觉：也许这些奇点骨子上仅仅“小事故”，不影响大局。
可这仅仅理念念情况。委果阻遏的，是所谓“叠加态”——多个名义在某区域“重迭”，像一摞纸片。这时候，你根本无法料定哪个片层在上，哪个鄙人。曲率界说不了，流动地方也搞不清。扫数这个词方程体系就像高速公路半途塌了一节桥梁，无法通车。
几十年来，大都对于“平均曲率流”（mean curvature flow）的着力，都只可加一句前提：“在Multiplicity-One猜念念成立的前提下……”这其实是一种集体押宝。要是这个前提错了，扫数这个词究诘地方可能都要重来。
直到2024年美女教师，Richard Bamler和Bruce Kleiner两东谈主，追究文告完成了讲明。这不是他们第一次在几何分析鸿沟开始，但此次，是压轴之作。
他们不是用蛮力。他们先设定了一个“坏心卡塔诺体”（evil catenoid），也便是两个球面由细细的脖子邻接的殊形怪状体。他们念念象这个脖子越来越细，两个球冉冉围聚，要是最终澌灭，就出现了“祸害性奇点”。
他们的政策，是构建一个函数，去盘算淘气极少与“最近的邻层”的距离，然后追踪这个“间距”随技巧的变化。逻辑中枢是：独一这个距离永久不为零，那就代表不同层之间不会委果“粘连”，不会发生堆叠态。
收尾是，阿谁间距永久存在。再细的脖子，也拉不动两个区域重迭。这意味着，“祸害性奇点”根底弗成能发生。
而这仅仅驱动。因为果然天下中的名义可能远比“坏心卡塔诺体”更奇怪，结构更复杂。Bamler和Kleiner接着讲明：扫数这种复杂区域的影响都“异常局部”，对扫数这个词演化历程影响简直不错忽略。他们用的是访佛“规模效应”的惩处状貌：再复杂的边缘，截至住它的小范围爆炸四肢，合座也曾牢固演化。
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临了，他们给出了论断：平均曲率流下的闭合名义，在奇点处要么酿成球体松开为点，要么酿成圆柱体塌陷为线段。除此除外的奇点简直不存在，即使存在，也极不踏实，极少扰动就会垮塌消散。
扫数复杂情况，全部摈斥。三十年后的今天，猜念念被实锤。
勾引porn这条讲明透露不仅仅优雅，它干脆利落地清空了一类几何分析中最让东谈主头疼的“例外情况”。
以前，主流究诘聚积在Ricci流。这种几何流以Perelman讲明庞加莱猜念念而名声大噪。它的执意在于重塑空间结构，提纯拓扑骨架。而平均曲率流，更像是雕饰师的刻刀，它径直对“面”的局部膺惩度开始，强制让名义松开、光滑、简化，最终归于无。
但因为奇点四肢难控，平均曲率流在好多鸿沟不如Ricci流“安全”。目下，这个短板被补上。它将领有新的“通用钥匙”，不错在更复杂空间中功课。
Bamler和Kleiner说，他们接下来要究诘三维曲面在四维空间中怎样演化。这等于是将目下的器具，从三维的水杯冰块问题，膨大到四维空间的高档拓扑问题。
接下来的办法，致使包括重新讲明Smale猜念念——一个对于高维球体对称群结构的知名问题。这个猜念念早已被讲明过，但历程复杂。而用平均曲率流来“再讲明一次”，有望愈加通透。
这是最像物理的一种数学流。
冰块不会短暂跳成两块，球不会臆造裂出两层美女教师，几何的演化也终于有了详情的规模。扫数流向唠叨的旅途，临了都会归于秩序。这种详情趣，在数学界，是一种稀薄的吃亏。
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